Теорія ймовірностей – це розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їх властивості та операції над ними.

Довгий час теорія ймовірностей не мала чіткого визначення, яке було розроблено тільки у 1929-му році. Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і перших спроб математичного аналізу азартних ігор (орлянка, кості, рулетка). Французькі математики XVII-го століття Блез Паскаль і П’єр Ферма, досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, відкрили перші імовірнісні закономірності, що виникають при киданні кубиків.

Теорія ймовірності виникла як наука з переконання, що в основі масових випадкових подій лежать певні закономірності. Теорія ймовірності вивчає дані закономірності.

Теорія ймовірностей займається вивченням подій, настання яких достовірно невідоме. Вона дозволяє судити про ступінь ймовірності настання одних подій в порівнянні з іншими.

Наприклад: визначити однозначно результат випадання «орла» або «решки» у результаті підкидання монети не можна, але при багаторазовому підкиданні випадає приблизно однакове число «орлів» і «решок», що означає, що ймовірність того, що випаде «орел» або «решка», дорівнює 50%.

Випробуванням у цьому випадку називається реалізація певного комплексу умов, тобто у даному випадку підкидання монети. Випробування може відтворюватися необмежену кількість разів. При цьому комплекс умов включає в себе випадкові чинники.

Результатом випробування є подія. Подія буває:

1. Достовірною (завжди відбувається у результаті випробування);

2. Неможливою (ніколи не відбувається);

3. Випадковою (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).

Наприклад, при підкиданні монети неможлива подія – монета стане на ребро, випадкова подія – випадання «орла» або «решки». Конкретний результат випробування називається елементарною подією. В результаті випробування відбуваються тільки елементарні події. Сукупність усіх можливих, різних, конкретних результатів випробувань називається простором елементарних подій.

 Основні поняття теорії ймовірності

 

   Кожна випадкова подія є наслідком великої кількості випадкових причин які врахувати немає можливості оскільки число їх дуже велике і закони їхні невідомі. Тому теорія ймовірності не ставить перед собою завдання спрогнозувати те, що одна випадкова подія відбудеться або не відбудеться. Вона і не в силі це зробити. Інша мова коли йдеться про масові однорідні випадкові події які багаторазово спостерігаються при виконанні певних умов. Виявляється, що достатня кількість однорідних випадкових подій, не залежно від їх конкретної природи, підпорядковується певним законам, а саме встановленням ймовірностей цих законів і займається теорія ймовірності.

 Методи теорії ймовірності широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніці. Перші роботи із теорії ймовірності виникли із спроб створення азартних ігор з XIV по XVIIст.

Предметом теорії ймовірності є моделі експериментів з випадковим результатом.

Розглядатимемо тільки такі експерименти які можна повторити при незмінних певних умовах довільну кількість раз. Будь-який результат що спостерігатиметься інтерпретуємо як випадковий результат випробуваного експерименту, тобто випадкову подію.

Подія – це результат випробування. Їх позначають: A, B, C, D . Події називаються несумісними якщо поява однієї із них виключає появу інших в одному і тому ж випробуванні.

Події називаються єдино можливими якщо поява в результаті випробування однієї і тільки однієї з них є достовірною подією. Такі події складають сукупність елементарних ситуацій W. Під множиною елементарних результатів розумітимемо таку множину взаємовиключаючих результатів, що результатом випробування завжди є один і тільки один результат.

Приклади задач з теорії ймовірності:

1) Із урни, в якій 10 білих, 4 чорних та 5 синіх кульок, навмання вибирають три кульки. Знайти ймовірність того, що серед них будуть:

а) всі білі;

б) всі чорні;

в) 1 біла, 1 синя, 1 чорна.

2) В продукції заводу брак складає 5% від загальної кількості деталей. Для контролю відібрано 20 деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних

а) одна бракована;

б) не більше чотирьох бракованих;

в) жодна не бракована.

3) На контроль надійшли вироби, які виготовлені трьома робітниками. Перший виготовив 30 виробів, серед яких 7% браку, другий – 50 виробів, серед яких 4% браку, а третій – 40, серед яких 3% браку. Взятий навмання виріб – доброякісний. Знайти ймовірність того, що виріб виготовив 2-й робітник.

4) Вважаючи, що ймовірність навчатися у ВУЗі для хлопців та дівчат рівна, знайти ймовірність того, що серед 300 студентів:

а) 200 дівчат;

б) не менше 100 і не більше 170 дівчат.

 

Корисне посилання на відео-лекції і відео-задачі